$\sum_{i=1}^{n}{i^k}$的求和公式

本文给出两种解法.

第一种解法

先给出递推公式: 求和公式一:

其中

证明： 根据二项式定理，注意到

将这些等式全部相加，可以得到

亦即

接下来我们就可以用此递推公式解$S_1(n)$,$S_2(n)$$\cdots$ 易得$S_0(n)=n$

同理可解得$S_2(n)$为：

第二种解法

下面提供一种方法不同但结论相似的解法 求和公式二:

其中

证明： 将该级数的各项写成下面的形式：

可以得到，所有行的和为

所有列的和为

根据所有行的和等于所有列的和，可以得到

将$k+1$写成$k$,得到